Teorija kaosa i ljepota fraktala

This is the HTML version on my article recently published in NeT,1997;16:68-71.

Also available at URL: http://www.net.hr/net_16/teorija.html

---

Teorija kaosa i ljepota fraktala

Što je zajedničko Saturnovim prstenovima, burzovnim predviđanjima, organizaciji Interneta i izborima?

Što je kaotični sustav?
Razliku između uređenog i kaotičnog sustava možete vizualizirati promatrajući dim iz cigarete. Prvobitno dim se diže ravno uvis (laminarno gibanje), što se dvadesetak centimetara više pretvara u turbulentno gibanje. Drugi je primjer sustav dvaju tijela koja kruže jedno oko drugoga pod djelovanjem gravitacijske sile. Stoga je i cijeli Sunčev sustav kaotičan, a najljepše je to vidljivo na primjeru

Efekt leptirovih krila
Glavna poteškoća predviđanja dugoročnih budućih ponašanja kaotičnih sustava jest u velikoj osjetljivosti o početnim uvjetima. To je zapravo bit teorije kaosa, a znači da i najmanja razlika u početnim uvjetima dovodi do različitih konačnih rezultata. To je lijepo prikazao meteorolog Edward Lorenz, koje je prvi sustavno radio na teoriji kaosa. Lorenz je pokušavajući matematičkim simulacijama načiniti dugoročnu vremensku prognozu otkrio tzv. efekt leptirovih krila, odnosno "The Butterfly Effect" <http://www.eos.net/esse/butterflyeffect.html>. Ukratko, leptir mašući krilima danas u Pekingu, može time prouzročiti oluju slijedećeg mjeseca u New Yorku. Lorenzov je rad na matematičkom modeliranju kompleksnih putanja čestica zraka, (putanje su opisane sustavima linearnih diferencijalnih jednadžbi), kulminirao slavnom slikom koja se zove "Lorenz Attractor", a oblikom je slična leptirovim krilima <http://www.students.uiuc.edu:80/~ag-ho/chaos/lorenz3d.gif>.

Izbori
Lijep primjer učinka leptirovih krila jesu izbori. Razlozi zbog kojih neka osoba glasuje za naku stranku vrlo su kompleksni. Svaki glas možda ima malo utjecaja na konačni ishod, ali jedan jedini glas ipak može (teorijski) dati prevlast jednoj stranci, odnosno koaliciji, koja će u konačnici utjecati na cjelokupnu politiku. Sjetite se toga kada slijeći put izađete na izbore! Naravno, mehanizmi izbornih sustava takve granicne slučajeve baš i ne dopuštaju. Ukoliko vas ta problematika zanima, znajte da je to predmet interesa mnogih običnih glasača ali i teoretičara širom svijeta. Tako je nedavno je i časopis Scientific American <http://www.sciam.com> donio napis o pravednijem sustavu za glasovanje, <http://www.sciam.com/askexpert/math.html#acs50>. Da taj napis nije prošao nezapažen u Hrvatskoj, dokazuje i to što mu se mirorr nalazi na na poslužitelju Socijaldemokratske partije Hrvatske <http://www.sdp.tel.hr/sdp/vote.html>.

Bifurkacije i teorija katastrofa
Specijalni vid teorije dinamičkih sustava jest teorija katastrofe, koju je postavio šezdesetih godina ovog stoljeća francuski matematičar Rene Thom. Ova pak teorija proučava fenomene karakterizirane iznenadnim promjenama ponašanja koje proizlaze od malenih promjena u okolnostima. Katastrofa jest dakle bifurkacija ("grananje") između dva različita ekvilibrija odnosno dva fiksna atraktora. Kompliciranije, ali znanstvenije rečeno, bifurkacija je kvalitativna promjena u dinamici zbog malenih varijacija parametara sustava. Kako izgleda bifurkacija pogledajte na: <http://tqd.advanced.org/3120/library.html> gdje ćete naći i BASIC program kojim je ta slika generirana. Još jedan lijep primjer s nešto pripadne matematike jest na: <http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/BD.html>. Glede teorije katastrofe i njene primjene, svakako vrijedi pogledati slikovni prikaz gravitacijskog stroja katastrofe na: <http://www2.excite.sfu.ca/pgm/scifair/alexei_polishchuk/comment.html> koji služi za ispitivanje stabilnosti teretnih brodova, sigurnosti mostova itd.

Primjena i primjeri kaotičnih sustava
Možda najbizarniji primjer jest "kaotični stoj za pranje rublja" <http://tqd.advanced.org/3120/text/washmach.htm>. Stroj ne samo da funkcionira, nego je i daleko učinkovitiji od klasičnih strojeva. Patentiran je, a izumitelji su se obogatili. Eksperimenti koji simuliraju kaos poslužili su i kao osnova za dizajniranje mnogih igračaka. To su prvenstveno razne vrste njihala koje se nalaze u polju nekog elektromagneta. Upute za izradu jednostavnog dvostrukog njihala koje će demonstrirati prekrasno kaotično gibanje nalaze se na: <http://www.ibm.com/Stretch/EOS/chaos.html< Onaj tko nema uradi-sam talenta, može se zadovoljiti i simulacijom dvostrukog njihala u JAVI, te vidjeti iscrtavanje pripadnog atraktora na adresi: <http://www.cs.mu.oz.au/~mkwan/pendulum/pendulum.html>. Još JAVA simulacija može se naći na: <http://www.cmp.caltech.edu/~mcc/chaos_new/Chaos_demos.html>. Ljubitelji glazbe pak na poslužitelju <http://membrane.com/chaos/> mogu pogledati, pa čak i poslušati (WAV format) kako teorija kaosa objašnjava utjecaj bluesa na modernu glazbu. Upravo izvrsna multimedijska prezentacija. Fizičari, ljubitelji kvantne mehanike i ostali ljubopitljivci mogu nešto naučiti o kvantnom kaosu na <http://sagar.cas.neu.edu/qchaos/qc.html>.

Financije
Možda ne i najzanimljiviji, ali svakako glede određenih šarenih papirića najpoticajniji primjer potencijalne uporabe teorije kaosa jest primjena teorije kaosa na polju financija. Vidjeli smo dakle, da u determinističkom sustavu kaos označava iregularne fluktuacije uslijed neke unutrašnje logike, visokoosjetljive na početne uvjete, a ne zbog slučajnih vanjskih sila (uzroka). Kako se burza može definirati kao dinamički sustav socioekonomskog ponašanja, nije čudo da su burzovni analitičari relativno lako dokazali da se burza ponaša kaotično. Nažalost, to je visokodimenzijski kaos s ogromnim brojem različitih varijabli, a burzovne transakcije nisu dovoljno dugo stacionarne kako bi se mogao identificirati pripadni kaotični atraktor. Dobar članak o kaotičnim tržištima može se naći na: <http://www.lloyd.com/~babcock/article4.html>. Glede kaosa i financija, ne zaboravite i da je kaos, ali onaj pravi, u Albaniji počeo slomom piramidalnog sustava financijskog inžinjeringa. Ukoliko dobro vladate matematikom, kao i samom teorijom kaosa, gotovo sigurno ćete pronaći neku financijsku ustanovu koja će podržati vaša istraživanja. No ako uspijete, ne očekujte da Vam dadu dio profita koji ste im ostvarili :-) ! Ukratko, svatko tko kaže da zna za primijeniti teoriju kaosa na burzovne transakcije, ne zna ništa korisno. Svatko tko zna nešto korisno, to, naravno, neće širiti dalje.

Da li je Internet kaotičan?
Za sada smo vidjeli da je Internet povezan s kaosom samo kroz ogroman broj informacija koje se o kaosu na Interentu mogu pronaći. Kaos je u većoj mjeri počeo zahvaćati kompjuterski svijet pojavom računalnih mreža. Računalni ekosustavi vrlo su slični biološkim ekosustavima (koji jesu podložni kaosu), a mogu se opisati karakteristikama kao što su broj programa koji se izvršavaju na mreži, obim poruka koje se šalju, frekvencija kojom se koriste različite rute, prosječni zastoj u odašiljanju informacija i povratnoj vezi. Sve te karakteristike utječu na odluke pojedinih korisnika, ali to najčešće prolazi nezapaženo. Svaki zahtjev za procesiranjem određenog zadatka koji se u vidu električnog impulsa šalje telefonskom mrežom, može usporiti komunikaciju između ostalih računala u mreži. Konkretno, ovisno o zagušenju mreže, rezultat potrage za nekom informacijom može se poprilično razlikovati. To pak može utjecati na neke odluke, koje pak...Interesantno jest da je kaotično ponašanje računalnih mreža anticipirano već kasnih osamdesetih godina. Da Internet, ta Mreža svih mreža, u smislu teorije kaosa definitivno jest kaotičan. O neorganizaciji se pak može razgovarati.

Fraktali
Teorija kaosa odnosi se dakle na određene uzorke (zakonitosti, obrasce). Kaotični je sustav posljedica mnogobrojnih ponavljanja određenih pravila, te se pri tome ponekad dobijaju vrlo pravilne strukture. Izuzetno ilustrativnu grafičku demonstraciju pogledajte na: <http://tqd.advanced.org/3120/fractal.html>. I što smo dobili? Fraktale, naravno.